
In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgriechisch ἴσος (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.
Definition
Universelle Algebra
In der universellen Algebra heißt eine Funktion zwischen zwei algebraischen Strukturen (zum Beispiel Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen) ein Isomorphismus, wenn:
bijektiv ist,
ein Homomorphismus ist.
Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise „das gleiche“, nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.
Die Aussage „ und
sind isomorph“ wird üblicherweise durch
oder durch
notiert.
Ist ein bijektiver Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann ist immer auch
ein bijektiver Homomorphismus.
Relationale Strukturen
Es seien und
zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ
sodass
für jedes
die Stelligkeit der Relationen
und
bezeichnet. Eine Bijektion
heißt Isomorphismus, wenn sie für jedes
und für alle
die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:
Im Gegensatz zu algebraischen Strukturen ist nicht jeder bijektive Homomorphismus zwischen relationalen Strukturen ein Isomorphismus. Ein Beispiel für Isomorphismen zwischen relationalen Strukturen sind Isomorphismen zwischen Graphen.
Kategorientheorie
In der Kategorientheorie definiert man einen Isomorphismus allgemein als einen Morphismus der ein beidseitiges Inverses
besitzt:
und
Die oben definierten Isomorphismen zwischen algebraischen Strukturen sowie zwischen relationalen Strukturen sind Spezialfälle dieser Definition. Weitere Spezialfälle dieses Isomorphiebegriffes sind beispielsweise Homöomorphismen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetige Abbildungen oder Homotopieäquivalenzen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume mit den Homotopieklassen von Abbildungen als Morphismen.
Bedeutung
In der Kategorientheorie ist von entscheidender Bedeutung, dass die Eigenschaft Isomorphismus unter jedem Funktor erhalten bleibt, d. h. ist ein Isomorphismus in einer Kategorie
und
ein Funktor, dann ist
ebenfalls ein Isomorphismus in der Kategorie . In der algebraischen Topologie wird diese Eigenschaft häufig festgestellt, um Räume in Relation bringen zu können: Sind beispielsweise zwei Räume homöomorph, so sind ihre Fundamentalgruppen isomorph.
Beispiele
Sind und
Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist eine Bijektion
mit
für alle
ein Isomorphismus von nach
. So ist etwa der Logarithmus ein Isomorphismus von
nach
, da
.
Eine binäre Verknüpfung ist eine dreistellige Relation. Aber auch zu zweistelligen Relationen lassen sich Homo- und Isomorphismen definieren (s. u. #Ordnungsisomorphismus).
Bei manchen Isomorphismen impliziert die Homomorphie der Funktion auch die der Umkehrfunktion; bei den anderen muss man sie extra nachweisen.
Gruppenisomorphismus
Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.
Isometrischer Isomorphismus
Sind und
metrische Räume und ist
eine Bijektion von
nach
mit der Eigenschaft
für alle
,
dann nennt man einen isometrischen Isomorphismus.
In den bisherigen Beispielen sind Isomorphismen genau die homomorphen Bijektionen – die Umkehrabbildung ist automatisch homomorph. In den folgenden Beispielen muss zusätzlich gefordert werden, dass auch die Umkehrabbildung homomorph ist.
In der Funktionalanalysis nennt man eine Abbildung zwischen normierten Räumen
einen Isomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
Falls zusätzlich für alle gilt
, so nennt man
einen isometrischen Isomorphismus.
Ordnungsisomorphismus
Sind und
geordnete Mengen, dann ist ein (Ordnungs-)Isomorphismus von
nach
eine ordnungserhaltende Bijektion, deren Umkehrfunktion ebenfalls ordnungserhaltend ist. Ordnungserhaltende Bijektionen zwischen totalgeordneten Mengen sind automatisch Isomorphismen; für Halbordnungen gilt dies nicht:
ist offenkundig eine ordnungserhaltende Bijektion von
mit der Teilerrelation nach
mit der gewöhnlichen Ordnung, aber nicht in der Gegenrichtung. Ordnungsisomorphismen spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle. Man sagt auch,
und
seien ordnungsisomorph oder vom selben Ordnungstyp. Der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen
wird mit
und der der rationalen Zahlen
mit
bezeichnet. Der Ordnungstyp der rationalen Zahlen im offenen Intervall
ist ebenfalls
Beide sind dicht in ihrer jeweiligen Vervollständigung. Die Ordnungstypen der reellen Zahlen
und des Intervalls
sind ebenfalls gleich, aber verschieden von
da es keine Bijektion zwischen
und
gibt.
Siehe auch
- Isomorphiesatz
- Automorphismus
- Morphismus
Literatur
- Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-21393-7.
Weblinks
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